Walter Orlov

Kepler, Flächengesetz

Einstein: "Der Flächensatz gilt also in Größen zweiter Ordnung genau,
wenn man die 'Eigenzeit' des Planeten zur Zeitmessung verwendet."

Für die Berechnung der Planetenbahnen verwendet man die Schwarzschild-Metrik. In großer Entfernung von den schweren Massen vereinfacht sie sich zur Minkowski-Metrik. Deswegen wird gemeint, dass die Effekte Spezieller Relativitätstheorie in Allgemeiner Relativitätstheorie automatisch berücksichtigt sind. Das sollte ja stimmen... Wenn wir aber uns eine konkrete Rechnung genauer anschauen, entdecken wir, dass es zusätzliche Annahmen vonnöten sind und zwar diese zerstören schon gemeinte allgemeine Gültigkeit. So wird für die Lösung des relativistischen Kepler-Problems die Eigenzeit eingesetzt – d.h. die Zeit im Bezugssystem des Planeten: "Dann ist der Bahnparameter s die Zeit τ, die eine mitgeführte Uhr anzeigt", Prof. Norbert Dragon – sodass die Lorentz-Faktoren für Energie und Drehimpuls weg fallen:

Auf diese Weise bekommt man

und aus

ergibt sich

Die Effekte Spezieller Relativitätstheorie werden also aus der Rechnung entfernt und übrig bleibt einfacher Energiesatz ohne Lorentz-Faktoren:

Man behauptet: das Wegfallen von den Faktoren Spezieller Relativitätstheorie hätte keine Auswirkung auf Endergebnis. Das Gute an einer Metrik sei also es, dass das Wechseln von den Bezugssystemen die Qualität der Gleichungen nicht ändert. Man erwartet deshalb dasselbe Ergebnis z.B. im Bezugssystem des Schwerpunktes. Angeblich wird die Rechnung deshalb dort nicht durchgeführt, nur weil sie dann zu kompliziert gewesen wäre... Aber allein das Setzen "mitgeführte Uhr" in das Zentrum der Betrachtung sieht dem Rückfall in das alte, ptolemäische Weltbild ähnlich. Und der wahre Hintergrund ist anderer: Man versucht um jeden Preis die relativistische Masse aus der Rechnung wegzukriegen. Nämlich wirkte sie aber so, dass der Planet das Perihel langsamer passierte, als wenn dessen träge Masse konstant bliebe. Auf diese Weise würde sich der Planet über längere Zeit unter der Einfluss der stärkeren Anziehungskraft der Sonne befinden. Intuitiv können wir schon jetzt ahnen, dass dies zur zusätzlichen Periheldrehung des Planeten führen kann.

Allerdings brauchen wir jetzt die ganze analytische Auslegung nicht von vorn zu machen. Wir werden davon ausgehen, dass der Energiesatz mit 1/r3 -Term laut Allgemeiner Relativitätstheorie für Merkur bereits 43" im Jahrhundert liefert. Verhältnismäßig ist die Perihelverschiebung zum ganzen Drehen sehr klein. Deshalb können wir nur den Zusatz berechnen, indem wir 1/r3 -Term weg lassen, aber relativistische Energie und Drehimpuls einsetzen:

Mit der Lösung der Gleichung hat sich auch Prof. Schnizer befasst: "Die relativistische Keplerbewegung". Im Prinzip machen wir nicht anderes, aber ist es an sich selbst bemerkenswert, dass die Leute doch wissen, wie es geht, und trotzdem reden sich aus.

Der Lorentz-Faktor kann durch den Drehimpuls ausgedruckt und danach in den Energiesatz eingesetzt werden:

Mit einer neuen Variable:

bekommen wir

und schließlich

Diesen Ausdruck verwenden wir im Energiesatz:

Daraus ergibt sich

Nach Einsetzen

folgt

Vor Integration kehren wir zur Variable r zurück:

Mithilfe der Integrationstafel bekommen wir schließlich:

Selbstverständlich können wir die rechte Seite weiter umformen. Das hat allerdings keinen großen Sinn. Schon die Definition von den Arc- Funktionen verrät uns, dass das Pendeln vom Perihel nach Aphel und zurück rechts 2π liefert. Folglich gilt

Das ist der Winkel einer ganzen Umdrehung zusammen mit relativistischer Verschiebung. Deshalb entfernen wir den Winkel einer Umdrehung 2π, um die Verschiebung zu ermitteln:

Für Merkur liefert die Formel Δφ ≈ 8.35⋅10−8 rad pro Umlauf und 7" im Jahrhundert.

Die Berechnung der Periheldrehung des Merkur mithilfe Allgemeiner Relativitätstheorie gehört zu einer der genausten überhaupt und ist der wichtige Beweis für die Gültigkeit dieser. Allerdings der Zusatz von 7", der durch relativistische Masse bedingt ist und von Theoretikern hartnäckig ignoriert wird, bringt zusammen mit 43" schon 50", was um 16% größer als beobachteter Wert von 43". In diesem Sinne geht eine der wichtigsten "Bestätigungen" der Allgemeinen Relativitätstheorie verloren.

 


 

Nachtrag zum 100-jährigen Jubiläum Allgemeiner Relativitätstheorie

 

Als Herr Gehrcke 1916 "Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie" von Einstein gelesen hatte, schöpfte er offensichtlich den Verdacht, dass er das schon irgendwo gesehen hätte. Und tatsächlich, er machte folgende Enthüllung:

"…Dieser Wunsch liegt besonders nahe, weil die Theorie Einsteins zu einer Beziehung zwischen Lichtgeschwindigkeit und Perihelbewegung des Merkur geführt hat, und weil der Betrag 41", um den der Merkur pro Jahrhundert von der Newtonschen Mechanik abweicht, quantitativ aus der Theorie herauskommt. Dieses Ergebnis hat viel Aufsehen erregt, und Eistein hat nicht versäumt, die Übereinstimmung mit der Erfahrung als überzeugend für die Richtigkeit seiner Theorie hinzustellen. Einstein hat aber nicht darauf aufmerksam gemacht, daß eine andere, viel einfachere Theorie der Gravitation, diejenige von Gerber, schon vor 18 Jahren zu dem gleichen Ergebnis führte…"

Ferner zeigte Gehrcke kurz, wie Gerber zu seinem Gravitationspotential kam, und schrieb weiter:

"Gerber wandte sein Potential auf die Bewegung eines Planeten um die Sonne an und leitete eine Perihelbewegung ab; als experimentell zu prüfendes Schlußergebnis findet er die Formel:

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hierin ist zur Abkürzung gesetzt:

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Setzt man den Wert für μ ein, so folgt:

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c ist die Lichtgeschwindigkeit, a die große Halbachse der Bahn, ε die Exzentrizität, ψ die Perihelbewegung pro Umlauf. Vergleicht man die Formel von Gerber mit derjenigen von Einstein:

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und berücksichtigt man die Bedeutung der Buchstaben, so sieht man, daß die Formel von Einstein mit der von Gerber identisch ist…
Man könnte meinen, es läge hier ein großer Zufall vor, und Einstein sei ohne Kenntnis der Gerberschen Arbeit zu dem gleichen Ergebnis gekommen. Eine solche Annahme wird dadurch erschwert, daß die Gerbersche Abhandlung sich in der bekannten Mechanik von Mach erörtert findet, und daß Einstein erst kürzlich seine genaue Bekanntschaft mit diesem Buche gelegentlich eines Nachrufes auf Mach dargelegt hat.
Man mag über die Gerbersche Theorie denken wie man will, jedenfalls geht soviel aus ihr hervor, daß es nicht notwendig ist, relativistische Betrachtungen anzustellen, um die Gerbersche Formel für die Perihelbewegung des Merkur abzuleiten."

Gehrcke. Zur Kritik und Geschichte der neueren Gravitationstheorien. Annalen der Physik Volume 356, Issue 17, pages 119-124, 1916 http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15353s/f128.image

Mit den Buchstaben und Darstellung ist es wirklich ein ganzes Durcheinander. War es eine Absicht von Einstein? Nichtsdestotrotz könnte Herr Gehrcke das Original erkennen. Einstein selbst stritt ab, von Gerbers Arbeit gewusst zu haben, und äußerte sich verärgert:

"Aber die Fachleute sind nicht nur darüber einig, daß Gerbers Ableitung durch und durch unrichtig ist, sondern die Formel ist als Konsequenz der von Gerber an die Spitze gestellten Annahmen überhaupt nicht zu gewinnen. Herrn Gerbers Arbeit ist daher völlig wertlos, ein mißglückter und irre­parabler theoretischer Versuch. Ich konstatiere, daß die allgemeine Relativitätstheorie die erste wirkliche Erklärung für die Perihelbewegung des Merkur geliefert hat. Ich habe die Gerbersche Arbeit ursprünglich schon deshalb nicht erwähnt, weil ich sie nicht kannte, als ich meine Arbeit über die Perihelbewegung des Merkur schrieb; ich hätte aber auch keinen Anlaß gehabt, sie zu erwähnen, wenn ich von ihr Kenntnis gehabt hätte."

Einstein, A.: Meine Antwort - Über die anti-relativitätstheoretische G.m b.H. In: Berliner Tageblatt. 402, 1920.

In der Tat waren Gerbers Annahmen nicht gerade offensichtlich, deshalb erntete seine Theorie viel Kritik.  So schrieb etwa Oppenheim:

"Man sieht, daß die Aufgabe, die sich P. Gerber stellte, im wesentlichen nur darin bestand, einen physikalisch plausiblen Grund für die Verallgemeinerung des einfachen C. Neumannschen Ansatzes für das retardierte Potential

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In

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…zu finden. Inwieweit die Begründung, wie er sie durchführt, stichhaltig ist und die Physiker befriedigt, darüber enthalte ich mich jeder Entscheidung."

Oppenheim, S.: Zur Frage nach der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation. In: Annalen der Physik. 53, 1917, S. 163–168. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15355g/f168.image

Wie wir ja wissen, haben sich die Physiker für Einsteins Theorie entschieden. Bevor sollten sie aber schweigend Einsteins folgendes Trick akzeptieren:

"Der Flächensatz gilt also in Größen zweiter Ordnung genau, wenn man die 'Eigenzeit' des Planeten zur Zeitmessung verwendet."

A. Einstein: Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie. 1915. http://adsabs.harvard.edu/abs/1915SPAW.......831E

Also, der Aufenthaltsort des Planeten wird in Einsteins Rechnung wie üblich im Bezugssystem des Schwerpunktes bestimmt, doch die Zeit wird von der Uhr des bewegten Planeten abgelesen. Ist das möglich? – Ja, klar, die Schwarzschild-Metrik arbeitet sowieso mit diesem Gemisch. Darf man so machen?

Keplers Flächensatz ist eigentlich ein Sonderfall von allgemeinerem Erhaltungsgesetz des Drehimpulses. Der Drehimpuls seinerseits ist eindeutig an ein gewähltes Bezugssystem gebunden: Nach der Definition gleicht dieser

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image09  ist der Vektor, der aus dem Ursprung des Koordinatensystems zum betrachteten Punkt im Raum gezeichnet wird. Bei der Berechnung der Planetenbewegung ist dieses Bezugssystem das Bezugssystem des Schwerpunktes. Logischerweise sollte auch die Zeit in demselben Bezugssystem gemessen werden, was auch immer gemacht wird…

Wenn aber der Drehimpuls dabei nicht erhalten bleibt, heißt das, dass in Allgemeiner Relativitätstheorie ein zusätzliches Drehmoment auftaucht. Die Planeten bewegen sich in zentralem Schwerefeld der Sonne, das prinzipiell, weil es eben zentral ist, keine Drehmomente erzeugen kann. Deshalb können zusätzliche Drehmomente nur allein durch mathematischem Apparat Allgemeiner Relativitätstheorie produziert werden.

Man muss also einfach zugestehen, dass relativische Mathematik eigentlich in den Mülleimer gehört, anstatt nach den zweifelhaften Umwegen, wie das Mixen von den Bezugssystemen, zu greifen. Das kommt besonders merkwürdig vor, wenn man sich daran erinnert, wie penibel getrennt die Bezugssysteme in spezieller Relativitätstheorie behandelt werden.

Nichtdestrotz erklärt wissenschaftliche Weltgemeinschaft seit genau 100 Jahren Einsteins List für legitim.

 

 

 

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